- Konbuyu başlatan
- #1
F
faust
Ziyaretçi
Bundan bir önceki konuda yani tek boyutlu kutuda parçacık konusunu ele almış ve kutu içerisinde sonsuz ve kuantlaşmış enerji durumlarını incelemiştik.Şimdi ise potansiyel kutusunun üç boyutlu yani koordinat sistemine bağlı durumlarını inceleyeceğiz.Örneğin elimizde dikdörtgen veya küp şeklinde 3 boyutlu bir kutu olsun.Bu kutunun potansiyel enerjisi merkez eksen hariç,tüm durumlarda sıfır dışında bir sayı değeri olsun.(Aslında sıfır olma durumu sadece bir varsayımdır,normalde daha önceki tek boyutlu kutu probleminden de hatırlanacağı gibi,hiçbir parçacığın potansiyel enerjisi sıfır değildir,değişen oranlarda bir enerjiye sahiptirler.) Bu durumda parçacığın hamiltonyen operatörü ψ’ye olan eşitliği
∂²ψ/∂x² + ∂²ψ/∂y² + ∂²ψ/∂z² + 8π²mE/h² ψ=0
Şeklinde ifade edilir.Eeğer üç boyutlu kutuda koordinat sistemine bağlı fonksiyonu da yazılmak istenirse
Ψ(x,y,z) = X(x).Y
.Z(z)
şeklinde yazılır ve bu durum istenirse parçacığın her kutu için diferansiyel eşitliği yazılabilir.
Bir önceki konuda potansiyel kutusundaki parçacığın,kutunun her durumunda farklı denklemler oluşturduğunu görmüştük.Bu durum üç boyutlu kutu problemi içinde aynen geçerlidir,yani her parçacık için ayrı fonksiyonlar yazılabildiği gibi,toplam enerji değerini karşılayan fonksiyonda yazılabilir.Ayrıca dalga fonksiyonu şeklinde alınıp,üç boyutlu koordinat düzlemi şeklinde de yazılır ve nihayetinde parçacığımızın enerjisi
E=E(x)+E+E(z)
şekline gelmektedir.
Üç boyutlu kutu içerisindeki parçacıkların ise her parçacık için ayrı kuantum sayılarıyla belirlenir.Yani kuantum sayıları n(x),n,n(z)’ye bağlı olup,değişik kombinasyonlar şeklinde yazılabilir. (XYZ,XYZ,YZX gibi vs.) bu,sistemin farklı hallerini gösterse de esasında enerji durumları aynıdır,fakat bu farklı kombinasyonlar üç parçacık için enerji seviyelerinin dejenere olduğunu ortaya koymaktadır.Eğer potansiyel kutusundaki sistemin enerjisi bağımsız hareketlerin toplamı olarak yazılıyorsa ,dalga fonksiyonunun neden olduğu hareketi belirleyen dalga fonksiyonları da çarpım değeri olarak yazılabilir.Bunu da şu denklemde yerine koyarsak,bir molekülün toplam iç enerjisini bulmuş oluruz.
E=E(elek.)+E(dön.)+E(tit.)
dalga fonksiyonu şeklinde yazacak olursakta eğer
Ψ=ψ(elek.) . ψ(dön.) . ψ(tit.)
Şeklinde ifade ederiz.Bu ifadenin özel bir anlamı ise üç boyutlu kutu problemlerinde olduğu gibi Schrödinger eşitliğinin çözümünde de kolaylık sağlamasıdır.
Ve son olarak,potansiyel kutusu içerisindeki parçacık problemi çözümünün önemi ise,tek boyutlu kutu içerisinde parçacığın durumu için; uzun zincirli eşlenik moleküllerin absorpladığı enerjilerin dalga boyunu hesaplamak için kullanılması ve üç boyutlu kutu probleminin çözümü için;istatistik mekaniğinde bazı öteleme fonksiyonların çözümleri için kolaylık sağlamasıdır,diyerek yazımıza da böylelikle son veryoruz,başka bir yazımızda görüşmek üzere.
İsmail Çelik
Kaynaklar:
Prof.Dr.Zekiye Çınar - Kuantum Kimyası (Çağlayan Yayınları)
Prof.Dr.Fevzi Köksal – Doç.Dr.Rahmi Köseoğlu – Kuantum Kimyası (Nobel Yayınları-2012)
∂²ψ/∂x² + ∂²ψ/∂y² + ∂²ψ/∂z² + 8π²mE/h² ψ=0
Şeklinde ifade edilir.Eeğer üç boyutlu kutuda koordinat sistemine bağlı fonksiyonu da yazılmak istenirse
Ψ(x,y,z) = X(x).Y
.Z(z)şeklinde yazılır ve bu durum istenirse parçacığın her kutu için diferansiyel eşitliği yazılabilir.
Bir önceki konuda potansiyel kutusundaki parçacığın,kutunun her durumunda farklı denklemler oluşturduğunu görmüştük.Bu durum üç boyutlu kutu problemi içinde aynen geçerlidir,yani her parçacık için ayrı fonksiyonlar yazılabildiği gibi,toplam enerji değerini karşılayan fonksiyonda yazılabilir.Ayrıca dalga fonksiyonu şeklinde alınıp,üç boyutlu koordinat düzlemi şeklinde de yazılır ve nihayetinde parçacığımızın enerjisi
E=E(x)+E
+E(z)şekline gelmektedir.
Üç boyutlu kutu içerisindeki parçacıkların ise her parçacık için ayrı kuantum sayılarıyla belirlenir.Yani kuantum sayıları n(x),n
,n(z)’ye bağlı olup,değişik kombinasyonlar şeklinde yazılabilir. (XYZ,XYZ,YZX gibi vs.) bu,sistemin farklı hallerini gösterse de esasında enerji durumları aynıdır,fakat bu farklı kombinasyonlar üç parçacık için enerji seviyelerinin dejenere olduğunu ortaya koymaktadır.Eğer potansiyel kutusundaki sistemin enerjisi bağımsız hareketlerin toplamı olarak yazılıyorsa ,dalga fonksiyonunun neden olduğu hareketi belirleyen dalga fonksiyonları da çarpım değeri olarak yazılabilir.Bunu da şu denklemde yerine koyarsak,bir molekülün toplam iç enerjisini bulmuş oluruz.E=E(elek.)+E(dön.)+E(tit.)
dalga fonksiyonu şeklinde yazacak olursakta eğer
Ψ=ψ(elek.) . ψ(dön.) . ψ(tit.)
Şeklinde ifade ederiz.Bu ifadenin özel bir anlamı ise üç boyutlu kutu problemlerinde olduğu gibi Schrödinger eşitliğinin çözümünde de kolaylık sağlamasıdır.
Ve son olarak,potansiyel kutusu içerisindeki parçacık problemi çözümünün önemi ise,tek boyutlu kutu içerisinde parçacığın durumu için; uzun zincirli eşlenik moleküllerin absorpladığı enerjilerin dalga boyunu hesaplamak için kullanılması ve üç boyutlu kutu probleminin çözümü için;istatistik mekaniğinde bazı öteleme fonksiyonların çözümleri için kolaylık sağlamasıdır,diyerek yazımıza da böylelikle son veryoruz,başka bir yazımızda görüşmek üzere.
İsmail Çelik
Kaynaklar:
Prof.Dr.Zekiye Çınar - Kuantum Kimyası (Çağlayan Yayınları)
Prof.Dr.Fevzi Köksal – Doç.Dr.Rahmi Köseoğlu – Kuantum Kimyası (Nobel Yayınları-2012)
