Neler yeni

Formalleştirilmiş Mantık

fides

Yeni üye
Katılım
15 Şub 2008
Mesajlar
1,780
Puanları
0
Web sitesi
www.felsefe.net
2. FORMELLEŞTİRİLMİŞ MANTIK

19. yüzyıldan buyana yeni bir mantık geliştirilmiştir ki, yazının bundan sonraki bölümünde bu mantık ele alınacaktır. Biz bu mantığın geleneksel mantığı genişlettiği ve ona göre çok önemli bir gelişme gösterdiğine inanıyoruz.

a. Mantık Cebiri
Formelleştirilmiş bir mantık, bir program halinde ilk kez Leibniz tarafından düşünülmüş. O bu konuda kendi cebirsel kalkülünü örnek almıştı. Bu mantık, dedüksüyona dayalı işlemleri teknik simgelerle yapan karakterler hakkındaki işlem kipleri modus operandi per characteres olarak düşünülmüştü.

Leibniz , bir tümel karakteristikler, gerçekleştirmeyi umuyor, böylece- tüm bilimsel bilgiyi bir kalkül altında toplamak istiyordu. Ama bir mantık cebiri, ilk kez 19. yüzyılın ortalarında (1853) George Boole tarafından gerçekleştirilebilmiştir. Daha sonra “mantık cebiri” olarak tam şeklini ise E. Schröder (1890- 1895)’in elinde almıştır.

Biz burada 19. yüzyılın mantık cebirini ele almak istemiyoruz. Çünkü bu cebir, bir yandan artık aşılmış olan bir cebirdir, öbür yandan da büyük bölümüyle günümüzün soyut cebirini ilgilendirmektedir.

Biz burada formelleştirilmiş mantığın çeşitli formlarını ele alacağız.

b. Formelleştirme Ülküsü
Formelleştirilmiş bir sistem şunları içerir:
1. Temel simgeler ve yapısal yasaları içeren bir simgeler topluluğu,
2. gerekli tanımlar,
3. temel önermeler (aksiyomlar) ve dedüksiyon kuralları.

Böyle bir sistemde dedüksiyonlar önermelerin herhangi bir yorumundan bağımsızdırlar. Aksiyomlar ve yasalar, onlara bir anlam yüklemeden önce, yani önceden sağlanan bir uzlaşımla, ilgili oldukları alanlar için tasarlanırlar. Uygulamada, simgeleri geleneksel mantık diline çevirmek olanaklıdır; ama bu çeviri işlemleri, günlük dilin bulanıklığından arınmış oldukları ve başka türden yorumlara ‘dönüştürülmedikleri” sürece sağlıklı olabilir.

Formelleştirilmiş bir sistemi karakterize eden şey, böyle sistemin, yapı ve dedüksiyon kuralları gibi yoruma açık olmaması, yorumlardan bağımsız olmasıdır. Simgeler, bu sisteme sadece dıştan bakıldığında sağlam bir görünüm vermekle kalmazlar; hatta daha çok, ifadelerin kuruluşu ve bu ifadeler hakkındaki dedüksiyonlar için sınırsız olanaklar sağlarlar.

Geleneksel mantıkta, sözel sentaksa dayalı olduklarından, kuruluş olanakları çok sınırlıydı. Buna karşılık, formelleştirilmiş bir sistemde yapma simgelerle işlem yapılır ve bu işlemler her zaman tekrarlanabilir ki, formelleştirilmiş bir sistem, giderek karmaşıklaşan ifadeler hakkında da rekursif kuruluşlar yapma olanağını sağlar. Dedüksiyonlar, dedüksiyon kurallarının her zaman kullanılabilir ve tekrarlanabilir olma özelliğine dayanılarak kurulurlar, Tanımlar ise rekursiftirler ve bu yüzden sıırsız bir gelişmeye izin verirler.

c. “Klasik” Formelleştirilmiş Mantık
Formelleştirilmiş mantık, kullanıma elverişli bir form içinde, ilk kez. 1879’da G. Frege tarafından ortaya atılmıştır, ama tanınması, Russell
ve Whitehead ’ın. “Principia Mathematica” (1910-1913) adlı büyük yapıtlarıyla olmuştur. Biz burada, ancak sistemin ilkelerini betimlemekle yetineceğiz:

a) İfadeler üç tarzda sembolleştirilir

Önce basit ifadeler gelir. Bunlar özne ve yükleme göre çözümlenmezler; p, q, r gibi basit değişkenlerle gösterilirler ya da bir ‘yüklemi bir veya daha çok özneye ait kılarlar. Böylece “x bir a’dır”, “x ve y. r ile ilişkilidir” ya da “a, k özelliğine sahiptir” türünden önermeler yapılmış olur.

Böylece önerme işlemleri, yani evetleyici ifadeler, değilleyici ifadelere, hatta bitiştirici (konjunküf), seçeneksel (veya), koşullu (eğer, öyleyse), eşdeğer (sağın anlamıyla “aynen”) ifadelere dönüştürme işlemleri ortaya çıkar.

Niceleyicilerle temsil edilen ve tekil ya da tümel bir ifadeye dönüşen genelleştirmeler, “x, bir a’dır” genelleştirmesi “tüm z’ler için “x” bir a’dır”, “bazı x’ler için: x bir a’dır” şekline sokulur.

Önerme işlemleri ve genelleştirmelerin bu tarza sokulmasıyla, çok karmaşık düşünceleri ve özellikle de matematikteki öndeyisel düşünceleri betimleme olanağı doğmuş olur. Böylece matematik bu öndeyisel düşünceler rahatça “mantıksal” olarak gösterilir.

b) Aksiyomlar ve dedüksiyon kurallarının küçük bir bölümü, yukarıda karakterize ettiğimiz mantıksal ifadeler için formüle edilir. Böylece şu görülmüş olur ki, klasik mantık, postulatlarını (aksiyom ve kurallarını) ancak modal olmayan bir mantığın doğruladığı bir mantıktır. Oysa, klasik mantığın dayandığı postulatlardan çok daha başka sonuçlar çıkarıldığını birazdan göreceğiz.

c) Tüm önerme işlemlerini ve genelleştirmeleri, bir ilk temele dayandırarak konumlamak hiç de zorunlu ve gerekli değildir. Çünkü bunlar biri öbüründen tanım yoluyla türetilen şeylerdir.

Aynı şekilde basit tanımlarla karmaşık ifadeleri daha basit ifadelere ve günlük dile uygun bir biçime çevirmek olanaklıdır.

“Bazı x’ler için x,’a’dır” ifadesi “a diye bazı sayılar vardır” ifadesine;

“bazı x’ler için x, z’nin babası ve z, y’nin kardeşidir” ifadesi de

“x, y’nin kardeşlerinin babasıdır” ifadesine çevrilebilir.

d. Klasik Mantıkta Çeşitli Basamaklar
Sözü edilen temeller üzerinde çeşitli zeminlere bağlı mantıklar hatta çeşitli zeminler üzerinde sınırsız sayıda sistemler kurulabilir.

a) Öncelikle, “önermeler mantığı”, yani, analitik olmayan ifadelere dayalı önerme işlemleri yardımıyla önermeler hakkında bir mantık kurulur. Bu mantık, geleneksel mantığın koşullu, bitiştirici ve seçenekli tasımlarını içerir.

b) Daha sonra, yüklemler alanında, kendileri bizzat yüklem ya da bir dizi olmayan bireylerle ilgi kurularak, yukarıdaki ilk düzene bağlı sonsuz sayıda mantıksal sistem kurma olanağı doğmuş olur.

Mantığın en basit hali sınıflar mantığı , yani bir bireyden sözedebilen kavramların mantığıdır. Bu haliyle sınıflar mantığı, kategorik önermeler üzerine kurulu geleneksel mantığın özel bir dalıdır.

Ama ne var ki, klasik mantık, iki birey arasındaki ilişkiyi, yine sınıflar mantığına dayandıran bir ilişkiler mantığı geliştirmiştir. Oysa başka türden ilişki mantıkları da kolayca geliştirilebilir. Yeni ilişki mantığı, geleneksel mantığın kavramlara dayalı ilişki mantığı için hiçbir anlam taşımayan işlemler geliştirmiştir. Bir ilişkiden öbürüne geçilebilir; ilişkiler biraraya toplanabilir. Örneğin, “baba ile kardeş” ilişkisi, “babanın” ve “kardeşin” sahip olduğu ilişkileri birbirlerine zincirleme bağlamak yoluyla da kurulabilir ve aynı şey tüm akrabalık dereceleri için uygulanabilir. Bir ilişkiyi, ilişkinin kendisinden yola çıkarak ele almakla, çok daha fazla ilişki potansiyeli kurgulanabilir. Örneğin “çocuğun” sahip olduğu ilişkiler, “torunun”, “torunun torunu nun”, v.b. sahip olduğu ilişkileri potansiyel olarak kapsar. Bu ölçüte göre sınıf, bir bireye ya da bir gruba belli bir ilişkiye dayalı olarak uygun düşen şey diye tanımlanabilir. Örneğin “x’in soyundan gelenler”, “a’nın soyundan gelenler” gibi

c) İlk-düzen mantıklarından daha yüksek düzeydeki mantıklara çıkılır. İkinci düzen mantığı, sadece sınıflar ve bireyler hakkındaki ilişkileri görmeye değil, hatta sınıfların sınıflarını, bağıntı sınıflarını, sınıflar hakkındaki ilişkileri, v.b. görmeye de olanak sağlar. Örneğin, her tamsayı, sınıflar hakkındaki bir sınıf olarak görülebilir; yani bir tamsayı, öğeleri halka halka bir bağlaşım içinde bulunabilen diziler hakkındaki bir sınıf (ya da ortak özellik) olarak konumlanabilir.

Leibniz’e göre özdeşlik, aynı özelliklere sahip bireyler hakkındaki bir ilişki olarak tanımlanabilir. Bu bağlamda, Russell ’ın ünlü betimleme (deskripsiyon) kuramına bakmak gerekiyor. Bu kurum, bir bireyi bir özellikle, ama sadece ona uygun düşen özellikle karakterize eden ifadelerle ilgilidir. “Deskripsiyonlar” a başvurmak kaçınılmazdır. Ama her hangi bir “deskripsiyon”un bir bireye varoluşsal olarak ait olması gerektiği kabul edilirse, ortaya paradoksal bir durum çıkar. İşte formelleştirilmiş mantık, tam bu noktada kendini dilin bağlayıcılığından kurtarır ve Örneğin “Fransa kralı keldir” Önermesini, “Fransa kralı” na hiç varolmamış bir birey olarak, Önermeye de bir birey hakkındaki bir sav diye bakar. Formelleştirilmiş mantık, bu Önermede karmaşık bir say bulur: “Fransa’nın bir kralı yardır ve o bir tek kişidir ve o keldir”. Böyle bir say, daima doğru ya da yanlış olabilen bir anlam taşır kuşkusuz. Ona bir anlam verilmezse yapıntısal bir gerçeklik postüle edilmiş olurdu.

Aksiyomlardan ilkeler (Önermeler) türetmek, çok uzun süre Öklit geometrisinin apaçıklığının sezgisel olarak kesin biçimde kabullenilmesi yoluyla olmuştur. İlk kez, Öklitçi olmayan geometrilerin keşfiyle, bu yoldan elde edilen dedüksiyonların hayranlık verici gücü kuşkulu hale gelmiştir, Çünkü, bu gücün gerçeklikten değil, kuramın kendisinden anlaşılmıştır.

Klasik mantığın postulatları uzlaşımlara dayanmasına rağmen, bu mantık uzun süre, ‘biricik ve “sarsılmaz düşünme yasaları” olarak görülmüştür. Bu görünüm, klasik olmayan mantıkların bulunması, yani klasik mantığın yasalarından başka türlü “yasa” lara dayalı çelişkisiz mantıkların 1920-30 yılları arasında ortaya atılmasıyla değişmiş ve bu değişme yeni ufuklara yol açmıştır.

- Klasik olmayan mantıkları topluca üç grupta sıralamak olanaklıdır.

a) İlk sırada yer alan modal mantıklar en az devrimci olanlardır. Çünkü burada klasik mantığın teoremler yerli yerinde bırakılır. Bu mantıklarda, klasik mantığın daha da zenginleştirilmesi ve geliştirilmesi, yine klasik mantık tabanında kalınarak denenir. Bu nedenle de modal mantığın yeri henüz klasik mantığın içindedir.

b) Klasik mantıkta bir ifade sadece iki “doğruluk değeri” ne sahiptir; yani bir ifade ya doğru ya yanlıştır. Oysa “çok değerli mantıklar’ da, bir ifadenin ikiden fazla doğruluk değeri olabileceği kabul edilir. Öyle ki, örneğin üç, dört, hatta sonsuz doğruluk değerleri olabilir. Bu tür mantıklar, çoğunlukla klasik mantığın çelişki ve üçüncü halin olmazlığı ilkelerini dışta bırakırlar.

c) “Sezgisel tip” mantıklar matematiksel sezgicilik yandaşlarınca geliştirilmiş mantıklardır. Bunlar önce Brower tarafından formüle edilmişler, daha sonra Heyting tarafından formelleştirilmişlerdir. Sezgisel tıp mantık, daha en başta klasik mantığın temel ilkelerinden olan üçüncü halin olmazlığı ilkesini bir yana atmakla, aslında çelişkiye dayanan bir mantık türüdür. Klasik mantıkta üçüncü halin olmazlığı ilkesi, aslında aksiyomlardan çıkarılır. Oysa sezgisel tıp mantıkta, bu ilkenin başka türden aksiyomlardan çıkarılamayacağı gösterilmiştir.

Üçüncü halin olmazlığı ilkesinin aksiyomlar listesinden silinmesi halinde ortada çelişki diye bir şeyin olmayacağı görülür. Gerçi, üçüncü halin olmazlığı ilkesini, listeden “silmek”, onun yanlış olduğunu söylemek anlamına da gelmiyor. Hatta, Brower mantığında, üçüncü halin olmazlığı ilkesinin yanlış olduğunu söylemenin yanlış olacağı gösterilir.

Üçüncü halin olmazlığı ilkesini silmek, “doğru ile yanlış arasında” bir ara-değer olduğunu söylemek de değildir. Bu mantıkta aslında hiçbir şey savlanmaz, hiçbir şey değillenmez. Sadece, üçüncü halin olmazlığı ilkesinin dedüksiyon için kullanılamayacağını belirmekle yetinilir.

Brower-Heyting mantığı , klasik mantığın sonuçlarından çoğunu doğrular. Bu mantık bize şunları göstermiştir: Örneğin çifte değilleme, evetlemeden daha zayıftır ve üçlü değilleme tek (basit) değilleme ile eşdeğerdir.

Bu mantıkta bir başka klasik aksiyomdan kurtulmak denenmiştir. Johannson’un minimal mantığı sadece üçüncü halin olmazlığı ilkesini “silmek” ile yetinmez, “yanlıştan ehven çıkar” (ex falso sequitum quog libet) aksiyomunu da atar. Ama bu yapılırken yine Brower-Heyting mantığının teoremlerine dayanılır. Bu çalışmalar bize şunu göstermiştir ki, değilleme işlemleri çok yüksek derecede çeşitli yorumlara bağlı işlemlerdir.

. Klasik Olmayan Mantıkların Durumu
Klasik olmayan mantıkların teknik sağlamlığı kuşkusuz ki tamdır.Bunlar sağlam bir kurguya sahiptirler ve çelişkiyi dışta bırakırlar. Onların keşfi, klasik mantığın hiç de yetkin olmadığını ve mutlak bir geçerliliği bulunmadığını iyice göstermiştir.

Artık mantık, aynı mantıksal işaretlerin belirli mantıksal yasa1ara uyduğu bir bütün değildir. Formelleştirilmiş iki değişik sistem, simgeleri değişik biçimde yorumlarlar. Bu yüzden, çok değerli mantıkları, klasik mantığın “doğru” ve “yanlış” değerlerine bakarak, doğru ile yanlış arasında bir ara değer konumlayan mantıklar olarak görmemek gerekir. Bu mantıkların içerdiği değerlerden en az biri “doğru” ya da “yanlış” dan başka bir değer olmalıdır.

Ama çeşitli klasik olmayan mantıkların değerlerini ve işlemlerini nasıl kavrayabiliriz? Başka bir deyişle, bu mantıkları tanımamıza yarayacak bir model var mıdır? Buna hem evet, hem de hayır denebilir. Bu mantıkların gerçekliğe uygulanmasını sağlayan modeller geliştirilmiştir.

Örneğin kuantum mekaniğini çok değerli mantıklar yoluyla yorumlamak denenmiştir ve görülmüştür ki, kuantum mekaniğinin çok değerli mantık ve modalite mantığı terimleriyle betimlenmesi, ortaya birbirine karşıt iki ayrı yorum çıkarmıştır.

Çok değerli mantıklara bağlı yorumlar arasında en doyurucu olanlar Brower-Heyting mantığı ile yapılanlar olmuştur. Aslında bu mantık, nesnel durumu klasik mantıktan çok farklı biçimde de betimlemez. Ama bu mantık, daha yüksek kesinlik derecesi peşindeki tutkulu insani tutuma daha uygun düşebilir.

Burada bir “p” sayı “p doğrudur” tarzında yorumlanmak zorunda değildir. Yorum daha çok “p kanıtlanabilir” tarzındadır. Bu nedenle, özellikle günümüzün matematikçileri, bizzat kendi matematiksel kuramlarını betimlemekte sezgici tip mantığa başvurmaktadırlar.

g. Derleyici (Kombinatorik) Mantık
En genel formu, yani tüm formelleştirilmiş sistemlerde ortak olan formu bulma denemesine, simgeler kombinasyonu, ideler kurgusu olarak derleyici (kombinatorik) mantık diyoruz.

Burada ikili bir kalkül sözkonusudur. Bir yanda değişkenlere (Lamda-konvertion) bağlı bir kalkül, öbür yanda değişkenleri içermeyen kombinatörler kalkülü biraraya getirilir. Yüklem türlerine göre, bu kalküllerden biri ya da öbürü dilin aynı kategorisine ait deyimleri ele alırlar. Bir kalkül ya da hesap makinesi ile yapılan her dedüksiyonun Lamda –konversiyonu ile kanıtlanabileceği gösterilebilir
3. FORMELLEŞTİRİLMİŞ MANTIĞIN KULLANIMI

Geleneksel mantık, okul örneklerinde ve retorik argümantasyonlarda çok yaygın olarak kullanılır. Ama geleneksel mantığın, bir bilimin içeriğini tam olarak ifade etmek ve bilimsel çıkarım sürecinin çeşitliliğini doğrulamak işinde açıkta dışta kaldığı görülmüştür.

Formelleştirilmiş mantığın gösterdiği gelişme, onun bilimlerde kullanılmasına yol açmıştır. Bu matematikte gerçekleşmiştir. Formelleştirilmiş mantığın matematikte kullanımı üç form gösterir:

1. (A) Matematik tanımsal yolla mantığa indirgenir.
2. Bir bilimsel disiplin, mantığın bir kullanımı ya da uzantısı olarak ele alınır.

Burada iki durumu birbirinden ayırmak gerekir
(B) Kullanım, mantığa yabancı işlemleri ve işaretleri içermez.
(C) Kullanım, “mantıksal olmayan” işlemsel işaretleri içerir.

3. (D) Ya da tersine, mantık, formelleştirilmiş matematiğin bir alt bölümü olarak görülür.

a. Matematiği Mantığa İndirgeme Denemesi
Leibniz, kendi mantıksal kalkülü ile tüm bilimleri dedüksiyon ile doğrulayabileceğini düşlemişti. Buna karşı biz şunu yinelemek zorundayız; Doğabilimlerinin formelleştirilmesi bugüne kadar gerçekleştirilememiştir. Gerçi klasik mantığın ustalarının, çabalarını matematiğin formelleştirilmesine yönelttiklerini görürüz. Russell ve Whitehead’ın büyük yapıtlarının adı da zaten bunu (Principia Mathematica) gösterir

Üç ciltlik yapıtın ilk iki cildi tamsayılar göreli sayılar ve düzen sayıları kuramının tipsel bir formelleştirmesidir ve bu çabaya daha Frege ’nin “Aritmetiğin Temelleri” (1895) adlı önemli yapıtında da rastlarız

a) Bu yapıtlarda sadece matematik kavramları formüle edilmez tersine matematiksel kavramlar mantıksal kavramlara geri götürülür

Aynı şey sonsuzluk (ıransfinite) ve sonluluk (finite) konusunda da yapılır Matematiksel kavramların indirgenmek istendiği mantıksal kavramlar çok karmaşıktırlar. Biz bir sayma sayısını (kardinal sayı) sınıfların sınıfı olarak kabul etmişizdir. Bir göreli sayı ise bir işaretler sınıfıdır. Ama bunları yapabilmek için önce özel aksiyomlara başvurma gereği vardır.

b) İşte burada temel güçlüklere çarpılır. “Principia Mathematica”dan önce, Frege bazı postulatlardaki çelişkilere işaret etmişti. Bu çelişkilerin ilk türü olarak yalancı paradoksu yeniden gündeme getirilmişti: “Ben yalan söylüyorum” ya da “şimdi yazdığım tümce yanlıştır” savları sağlam ve somut bir yapıya sahip görünürler ama, buna rağmen içlerinde bir çelişki taşırlar.

İkinci tarz paradoksları Russell’a borçluyuz. Biz “k” yı kendinden başka elemanı olmayan bir sınıfın özelliği sayarsak, “herhangi x için: x bir k’dır” önermesi, tanımı gereği “x bir x değildir” önermesi ile eşanlamlı olur. Biz, özel bir durum olarak x k olduğunu düşünürsek, “k bir k’dır” ‘e “k bir k değildir” önermelerinin ikisi de geçerli olur ki, burada açık bir çelişki vardır.

Buna dayanılarak bu çelişkilere paradokslar denmesi adet olmuştur. Gerçekte, burada antinomiler söz konusudur. Antinomiler, ait oldukları sistemleri çelişkili kılarlar. Okuyucu, bu türden antinomilere bakarak bunları sofizmal (safsata) sayabilir ve insanın sağlıklı sezgisel anlayışının bunları yadsıyacağını söyleyebilir. Ne var ki, sağlıklı sezgisel anlayışının teknik güçlüklerin üstesinden gelemediği anlaşılmıştır. Öbür yandan, okuyucu bu paradoksların pratik hayat için önem taşımadıklarını da söyleyebilir. Ama formelleştirilmiş mantık kuramcısı için bu paradokslar, kendi formelleştirme çabaları için ciddi tehlikelerdir. Bu paradokslar bize, düşünsel işlemlerimizde kullandığımız kavram ve kavram guruplarının kurulmasında belli sınırlara gelip dayandığımızı göstermiştir ki, bunlara dikkat etmeden yapamayız.

c) Russell’ın “tipler” kuramı paradoksların yarattığı güçlüklerin giderilmesi için yeterli bir çözüm sunmaktadır. Basitçe ele alındığında bu tipler, birinci türden paradoksları (yalancı paradoksu, v.b.) semantik yoldan aşmaktadırlar. Bunları 4.B’de ele alacağız.
İkinci türden paradoksları aşmak için, çeşitli mantıksal tipler ya da kategoriler ortaya konmuştur. Örneğin, bireyler (tekler) sınıflar ve sınıfların sınıfları gibi. Her özne ya da yüklem, belirli bir mantıksal tipe aittir ve yüklem de daima aracısız olarak özneye göre düzenlenmiş bir tiptir. (Yalnız, burada ilişkiler mantığına ait bir durumdan sözedilmediğini belirtelim). Bu nedenle, “x bir k’dır” örneğinde, x bir sınıf ise, k sınıfların sınıfı olur.

Buna göre artık “k bir k’dır” türüden ifadelere başvurulmaz. Öyleyse çelişki, tipler kuramıyla aşılmış olmaktadır. Tiplerin benimsenmesi akla uygun görünmektedir. Ama bu tipler, kalkülü iyice karmaşık hale de sokmaktadır. Bu yüzden bu tipleri çeşidi yollardan basitleştirme denemelerine başvurulmuştur (diziler kuramı, Quine’ın ‘stratifikation” ve Lesnievski’nin “mereoroloji” kuramları gibi)

b. Mantığın Mantıksal Olmayan Yüklem ve Sembollerle Genişletilmesi

Her sistem, başka bir sistemin, yani, artık tanımlanamaz türden olan nihai (sonul) simge ve aksiyomları içeren başka bir sistemin uzantısıdır. Matematiğin “Principia” daki formelleştirilme biçimi, aslında bizzat kendisi nihai (sonu1 aksiyomlara dayalı olarak klasik mantığın genişletilmesinden başka bir şey değildir.

Bunun gibi, geometrinin ve doğabilimlerinin ayrı ayrı, kendi bağlamları içinde formelleştirilmesi denemesi (Carnap, Goodman), yine aynı şekilde klasik mantığın genişletilmesine dayanır. Mantıksal simgelerin formelleştirilmesi, aslında doğa gerçekliğine işaret etmeye hizmet eder. Ama bu simgeler, mantıksal kategorileri belirli tiplerden kalkarak düzenlerler ki, böylece yine mantık yasalarına dayanılarak bir refleksiyona başvurulmuş olur. Örneğin doğabilimlerinde bu tipler, fiziksel verilen ifadeye yarayan nihai (sonul) aksiyomlardır.


c. Formelleştirmeye Dayalı Genişleme
Genişletme çabası, mantıksal kategorileri altına alamayan simgelerle yapıldığında özellikle ilgi çekicidir. Hilbert, aritmetiği formelleştirirken, “a” ile “a sayısının ardılı” üzerinde durur. “a” yı gösteren simge, ne bir birey (tek), ne bir sınıf, ne de bir ilişkiyi gösterir, v.b.

Ama dikkat edelim: Formelleştirilmiş bir sistem, hiç de her zaman zorunlu olarak bir mantıksal uzanımda olmayabilir. Ama bu yüzden, örneğin formelleştirilmiş bir matematiksel sistemin postulatlarını, zorunlu olarak, bir bölümünü mantıksal postulatlar, öbür bölümünü de sisteme özgü postulatlar olarak iki diziye bölmek gerekmez. İlk dizi yetkin olmayabilirse de her iki diziyi birbirlerinden ayırmaya hiç de gereksinme duymayabiliriz.

Böylece mantıkçılar adım adım şuna vardılar: Onlar, artık salt mantık olarak gösterilebilecek a priori bir sistemle fazla ilgilenmiyorlar. Tersine, onları ilgilendiren, artık, tüm formelleştirilmiş sistemlerde salt bir mantığın olmadığını görmek, başka bir deyişle bu sistemlerin salt bir mantığa indirgenemeyeceğini saptamaktır. Böylece, bize mantıksal ya da matematiksel olarak görünen tüm formelleştirilmiş sistemler üzerine bir meta-kuramsal inançlar sorunu ortaya çıkmış oldu.

d. Soyut Cebir Karşısında Formelleştirilmiş Mantık
Artık, çağdaş mantık, tüm çıkarım yöntemlerini tek “mantık”a indirgemekten çok, formelleştirilmiş sistemleri birbirleriyle karşılaştırma işiyle ilgilenmektedir. Sistemler, biri öbürünün uzantısı, genişlemesi olarak görülmeksizin de karşılaştırılabilirler. Bu da, birini öbürüne dayanarak yorumlamakla, binindeki geçerli bir ifadeyi, öbürünün geçerli bir ifadesiyle uzlaşıma getirmekle olur.

Bu bakımdan, özellikle mantıksal ve matematiksel sistemler arasında yapılan karşılaştırma ilgi çekicidir. Öyle ki, bu karşılaştırma sonunda matematik yeni bir yönelim kazanmıştır.

Örneğin “soyut cebir” üzerine yeni bir form geliştirilmiştir ve artık burada yapılan yorumlar, az ya da çok bulanık “nicel” veriler ile sınırlı değildir Soyut cebir sistemleri, “nicelik” lerle değil, birlikler, gruplar, halkalar kümeler, v.b. ile ilgilidirler. Bu sistemler belli aksiyomlardan yola çıkılarak formelleştirilebilir ve ne var ki, bu aksiyomlar hiç da mantıksal aksiyomlar değillerdir. Öyle ki, bu sistemler elemanter cebir işlemlerini de içerirler Sonuç olarak, formelleştirilmiş sistemlerin iki büyük grubu olduğunu görüyoruz: Mantık sistemleri ve soyut cebir sistemleri Ve son kuşak mantıkçıları için en korkutucu olan şey şudur: Bu sistemlerden biri öbüründen daha elemanter ya da fondamental değildir.

Buna karşılık, bu sistemler arasında giderek bir uzlaşım sağlanabilir. Birinin elemanları ile öbürünün elemanları arasında eşbiçimsel (isomorf) bir uygunluk oluşturulabilir Bu da iki şekilde olabilir:
1. Soyut cebir sistemleri mantıksal sistemlerin eşbiçimseli olarak görülebilirler,
2. Uzlaşımsal sayıların ve rekursif işlevlerin kullanılmasıyla -Gödel, bu teknik konusunda büyük başarıya ulaşmıştır mantıksal ifadeler ve mantıksal kanıtlamalar aritmetiğin ifadeleri ve işaretleri ile formüle edilebilir