Konu: Matematik ve Sonsuz - Ali Nesin

Matematik ve Sonsuz

http://www.alinesin.org/popular_math..._ve_sonsuz.doc

Gerek konuşma vermeye gittiğim okullarda, gerek bana gelen okur mektuplarında, öğrenci ve öğretmenlerin matematikteki sonsuzluk kavramını pek iyi bilmediklerini gözlemledim. Örneğin, birçok kişi,

* Sonsuz eksi sonsuz,
* Sonsuz bölü sonsuz

gibi işlemlerin yapılabileceği sanıyor. Kimisi de “sonsuz eksi 1”in bir sayı olduğunu sanıyor, yani sonsuzdan hemen önce bir sayı olduğunu sanıyor.

Bu yazıda, matematikte kullanılan sonsuzluk kavramına biraz açıklık getirmek istiyorum.
“Sonsuz” dendiğinde, genellikle, çok uzakta, taa ötede, ulaşılamayacak bir yer düşünülür. Genel olarak, “sonsuz” sözcüğü bir yer adıymış gibi kullanılır. Bursa gibi, Balıkesir gibi, Fransa ya da Amerika gibi... Bursa’yla Sonsuz arasındaki tek ayrım, Sonsuz’a hiç ulaşılamamasıdır.

Kimi zaman da, “sonsuz” dendiğinde çok büyük bir miktar akla gelir, sayılamayacak kerte büyük bir miktar... Bu ikinci anlam, “sonsuz”un matematiksel anlamına daha yakındır.

Günlük yaşamda kullanılan anlamda bir “sonsuz”un gerçekte (doğada, evrende, uzayda...) olup olmadığı ayrı bir tartışma konusudur. Belki de bu anlamda “sonsuz”, imgelemin bir ürünüdür ve doğada yoktur. Ama bizim konumuz, sonsuzun varlığı ya da yokluğu değil, tanımı. Biraz daha açayım: “Sonsuz”un ne demek olduğunu tanımlamak başkadır, “sonsuz”un var olduğunu ya da olmadığını kanıtlamak başka. Yani, kavramın tanımıyla varlığı bambaşka sorulardır.

Ben, bu yazıda daha çok “sonsuz”un matematiksel tanımıyla ilgileneceğim. Konumuz felsefe değil. Yazının sonunda, matematikte sonsuzun varlığı konusuna şöyle bir değineceğim.

Yukarda, “sonsuz” sözcüğüne günlük yaşamda verdiğimiz anlamdan kısaca sözettim. Matematikte “sonsuz”un bambaşka bir anlamı vardır. Günlük yaşamda kullanılan “sonsuz”un tam ne demek olduğunu pek iyi bilmiyorsak da, matematikte “sonsuz” sözcüğünün kesin bir anlamı vardır.

Popüler matematik yazılarımın birçoğunda, günlük yaşamda kullanılan “sonsuz” kavramının bu belirsizliğinden yararlanıp çatışkılar (paradokslar) sundum okura. Bu çatışkılar bugün artık bir çatışkı değilse de, pek yakın bir zamana dek çatışkıydılar. Çünkü matematiğin “sonsuzluk” kavramı bir yüzyıl öncesine değin pek açık seçik bilinmiyordu. “Sonsuz” konusunda büyük bir kargaşa vardı. Kerli felli adamlar “sonsuz” kavramı üzerinde birbirleriyle anlaşamıyorlar, bu ayrılıktan dolayı birbirlerine küsüyorlardı. Kümeler kuramının gelişmesiyle birlikte (Georg Cantor sayesinde), matematikte “sonsuz”un ne anlama gelmesi gerektiği anlaşıldı.

Matematikteki “sonsuz” kavramına açıklık getirilmesinin püf noktası şudur: “Sonlu”nun ne demek olduğunu anlarsak, “sonsuz”un da ne demek olduğunu anlarız, çünkü “sonsuz”, “sonlu”nun karşıtıdır, sonlu olmayana sonsuz deriz .

Matematikte “sonsuz” bir nitemdir (sıfattır), bir ad değildir. Nasıl “sonlu” bir nitemse (sıfatsa), matematikte kullanılan “sonsuz” da bir nitemdir. Sonsuz, sonlunun karşıtıdır. Matematikte sonlu olmayana sonsuz denir.

Adına “sonsuz” denilen matematiksel bir nesne yoktur. Ama sonsuz matematiksel nesneler vardır.
Nasıl “sarı”, “yeşil”, “uzun”, “sıcak” birer nitemse, matematikteki “sonsuz” sözcüğü de bir nitemdir.
Matematikte, adı “sonlu” olan bir nesne olmadığı gibi, “sonsuz” diye de bir nesne yoktur.
Yineliyorum: Matematikte, “sonlu” ve “sonsuz” sözcükleri birer nitemdirler. Örneğin, “sonlu sayı” terimindeki “sonlu” sözcüğü “sayı” sözcüğünü niteler. Bunun gibi, “sonsuz sayı” terimindeki “sonsuz” sözcüğü “sayı”yı niteler. (Matematik bölümünde okumamış bir okurun sonsuz sayı kavramını, hatta sonlu sayı kavramını da, bildiğini sanmıyorum.)

Matematikte 5 bir nesnedir. 1 de bir nesnedir. Dolayısıyla 5’ten 1’i çıkarabiliriz ve 4 nesnesini buluruz.
Ama “sonsuz”, bir nesne olmadığından, matematikte  – 1 diye bir nesne yoktur ve  – 1’in yazılmaması gerekir. Bir nitemden bir nesne çıkaramayız.

Bu kavram karışıklığının suçlusu öğrenciler değil, elbette... Öğrenci hiçbir zaman suçlu olamaz. Lise öğrencilerine, bugünkü eğitim sistemimizde, “sonsuz”un tam matematiksel anlamı anlatılamaz. Bugünkü eğitim sistemimizde, din bilgisi gibi, savunma bilgisi gibi, trafik bilgisi gibi, ticaret gibi çok daha yararlı (!) ve sığ dersler okutulmaktadır. Öğrenciler haftada 4 saat matematik görürlerse ne âlâ!
Eğitim sistemimizin olduğu kadar biz matematikçilerin de suçu var bu kavram karışıklığında. Matematikçiler, “sonsuz”u çoğu kez bir ad gibi kullanırlar. Örneğin, sanki sonsuz bir yer adıymış gibi, “n sonsuza gittiğinde” derler. Hatta görmüşsünüzdür, limn   yazarlar. Bu tümcecikte, “sonsuz” sanki bir yer adıymış gibi kullanılmış. Yanlış! Matematikte “sonsuz” diye bir yer yoktur.

Asıl suçlu  simgesi. Ortaöğretimde, matematiksel simgeler genellikle nesneler için kullanılır. Boşküme bir nesnedir ve simgesi ‘dir örneğin. Oysa  simgesi, bir nesnenin simgesi değildir.
Bu yüzden “n sonsuza gittiğinde” dememek gerekir. Onun yerine, “n durmadan büyüdüğunde, yani her tamsayıyı bir süre sonra aştığında” demek daha doğru olur.

Matematikçiler,
Sonsuz eksi sonsuz,  – 
Sonsuz bölü sonsuz, /
demez ve yazmazlar. Yazdıklarında da bunun ne demek olduğunu açıklamak zorundadır. Ama kimi zaman, matematikçi,
 + 1 = 
 – 1 = 
 +  = 
 /2 = 
2   = 
yazabilir. Burada, matematikçinin söylemek istediği,
* Sonsuz artı 1, sonsuza eşittir
* Sonsuz eksi 1, sonsuza eşittir
* Sonsuz artı sonsuz, sonsuza eşittir
* Sonsuz bölü 2, sonsuza eşittir
* İki kere sonsuz, sonsuza eşittir
değildir . Matematikçi sırasıyla şunları söylemek istiyordur:
* Durmadan büyüyen bir değişkenden 1 çıkarırsak, elde ettiğimiz değişken de durmadan büyür,
* Durmadan büyüyen bir değişkene 1 eklersek, elde ettiğimiz değişken de durmadan büyür,
* İki değişken durmadan büyüyorsa, o değişkenlerin toplamı da durmadan büyür,
* Durmadan büyüyen bir değişkeni ikiye bölersek, gene durmadan büyüyen bir değişken elde ederiz,
* Durmadan büyüyen bir değişkeni ikiyle çarparsak, gene durmadan büyüyen bir değişken elde ederiz.
Ta eski Yunanlılardan beri, matematikçiler ve filozoflar “sonsuz” ve “sonsuzluk” üzerine kafa yormuşlardır. Geçen yüzyılda, matematiğin sonsuzluk kavramını Alman matematikçi Georg Cantor biçimselleştirdi. Cantor’a göre sonsuz bir sıfattır. O gün bu gün, matematikçiler “sonsuz”u ad olarak değil, sıfat olarak kullanırlar.
Matematikte sonsuz bir nesnenin varlığı konusuna gelince ...
Matematikte sonsuz bir nesnenin varlığı (böyle bir nesnenin varlığını kabul eden bir belit/aksiyom olmadan) kanıtlanamaz. Öte yandan matematikçiler “sonsuz” nesnelerden sözedebilmek isterler. Matematikçi sonlu nesnelerle baktığında, kimi zaman sonsuzu görür gibi olur, yani “sonsuz,” sonlunun arasından kendini gösterir, kendini belli eder. Dolayısıyla matematikçi sonsuz nesnelerin varlığını kanıtlayamasa da, sonsuz nesnelerden sözedebilmek ister. Bir örnek vereyim.
0, 1, 2, 3, 4 gibi doğal sayılar sonlu matematiksel nesnelerdir (yani kümelerdir.) Peki, ya bu doğal sayılardan oluşan nesne? Yani
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...}
nesnesi? Bu nesnenin sonsuz olduğunu (yani sonsuz tane öğe içerdiğini) biliyoruz. Biliyoruz ama, matematikte böyle bir nesne var mıdır? Yani bu nesne, matematikte sözünü edebileceğimiz bir küme midir ?
Bu nesnenin bir küme olduğu “sonlu matematikte ” kanıtlanamaz.
Madem varlığını kanıtlayamıyoruz ama öyle bir nesnenin bir küme olmasını istiyoruz, biz de matematikte böyle bir kümenin olduğunu varsayarız, yani bu nesneyi küme yapacak bir beliti (aksiyomu) matematiğe sokarız... Böylece, matematikte sonsuz bir küme belirir... Daha önce yoktu, bir belitle var ettik!
Ve bu beliti kullanarak matematikte sonsuz bir nesnenin varlığını kanıtlamış oluruz.
Doğada sonsuz bir nesnenin olup olmadığı tartışmasını okurlara ve filozoflara bırakıyorum. Ben, bu konudaki düşüncelerimi, Matematik ve Doğa adlı kitabımın aynı başlıklı yazısında açıklamıştım.

hep merak etmişimdir doğada olmayan şey, sınırsızlık mı yoksa sonsuzluk mu?

Durdur bu nikahı memurbey Nickli Üyeden Alıntı

hep merak etmişimdir doğada olmayan şey, sınırsızlık mı yoksa sonsuzluk mu?

Sınırsız=sonsuz diye mi düşünüyorsunuz?

işin ilginç tarafı ise şu doğada olmayan bir şeyi nasıl tanımlayıp sorduğundur ki burada ki asıl paradoks şudur. tanımlamak sınırlamaktır.

Doğada bulunmayan bir şey midir sonsuzluk? Yoksa sonluluğu biz, insanlar olarak sadece ölüme bakarak mı çıkardık? Yerde bir taş parçası hayal edin, bu taşı elinize aldığınızı ve başka bir taşa vurarak ikiye kırdığınızı düşünün. Şimdi sizin için o taşın ilk yapısındaki halinin sonu gelmiştir. Fakat taşın kendisi için kendi sonu gelmiş midir? Yani o zaten nihayetinde siz onu kırmasaydınız bile, doğal şartlar sonucu aşınarak dağılacak ve karışacaktı ana yapıya. Yine de bu sonu olmayacaktı, başka bir forma dönüşmüş olacaktı sadece. Sonluluk nedir? Bir, iki, üç, dört diye sayıp bıraktığımızda, sayıların sonu mu gelmektedir? Yoksa sadece "bizim için" ya da "bizim bakış açımıza göre" mi sonu gelmektedir? Yoksa aslında biz, hiçbir şeyin sonu olmadığı, sadece birbirine dönüştüğü bir ortamda yaşayıp, illa sonlar arayıp bulmaya, yoksa sonlar oluşturmaya ve onların son olduklarını tam olarak bilmesek de son olduklarına inanmaya mı çalışıyoruz?

Örneğin mamutların soyunun tükenmiş olmasını ele alalım. Eğer biz onları fil, mamut, vb.. olarak ayrı ayrı sınıflara koyarsak, elbette mamutların sonu gelmiş olur, bakış açımıza göre. Fakat daha geniş açıdan bakınca, canlılar sınıfı olarak bakınca, mamutlar ortadan kalksa da, canlıların sonu gelmemiştir. Onların soyunun tükenmesinin elbette bizden bir takım götürüleri olmuş olabilir ve bu iyi değildir, fakat konu da bu değildir. Bakış açımızı daralttıkça, daha çok son göreceğimiz gerçektir. Tersi de mümkündür.